拉格朗日

(JosephLouisLagrange，1736—1813)约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。

　　拉格朗日生平

　　拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵。父亲是法国陆军骑兵里的一名军官，后由于经商破产，家道中落。据拉格朗日本人回忆，如果幼年是家境富裕，他也就不会作数学研究了，因为父亲一心想把他培养成为一名律师。拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。

　　到了青年时代，在数学家雷维里的教导下，拉格朗日喜爱上了几何学。17岁时，他读了英国天文学家哈雷的介绍牛顿微积分成就的短文《论分析方法的优点》后，感觉到“分析才是自己最热爱的学科”，从此他迷上了数学分析，开始专攻当时迅速发展的数学分析。

　　18岁时，拉格朗日用意大利语写了第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商，他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉。不久后，他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼兹取得了。这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心，相反，更坚定了他投身数学分析领域的信心。

　　1755年拉格朗日19岁时，在探讨数学难题“等周问题”的过程中，他以欧拉的思路和结果为依据，用纯分析的方法求变分极值。第一篇论文“极大和极小的方法研究”，发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。变分法的创立，使拉格朗日在都灵声名大震，并使他在19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授，成为当时欧洲公认的第一流数学家。1756年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。

　　1764年，法国科学院悬赏征文，要求用万有引力解释月球天平动问题，他的研究获奖。接着又成功地运用微分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题(木星的四个卫星的运动问题)，为此又一次于1766年获奖。

　　1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请时说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀前往柏林，任普鲁士科学院数学部主任，居住达20年之久，开始了他一生科学研究的鼎盛时期。在此期间，他完成了《分析力学》一书，这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。书中运用变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了。他在序言中宣称：力学已经成为分析的一个分支。

　　1783年，拉格朗日的故乡建立了"都灵科学院"，他被任命为名誉院长。1786年腓特烈大帝去世以后，他接受了法王路易十六的邀请，离开柏林，定居巴黎，直至去世。

　　这期间他参加了巴黎科学院成立的研究法国度量衡统一问题的委员会，并出任法国米制委员会主任。1799年，法国完成统一度量衡工作，制定了被世界公认的长度、面积、体积、质量的单位，拉格朗日为此做出了巨大的努力。

　　1791年，拉格朗日被选为英国皇家学会会员，又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数学教授。1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院后，拉格朗日被选为科学院数理委员会主席。此后，他才重新进行研究工作，编写了一批重要著作：《论任意阶数值方程的解法》、《解析函数论》和《函数计算讲义)，总结了那一时期的特别是他自己的一系列研究工作。

　　1813年4月3日，拿破仑授予他帝国大十字勋章，但此时的拉格朗日已卧床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。

　　拉格朗日的科学成就

　　拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。 拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。同时，他的关于月球运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起到了历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。

　　在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动了代数学的发展。他提交给柏林科学院两篇著名的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》 。把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，即把方程化为低一次的方程(称辅助方程或预解式)以求解。

　　他试图寻找五次方程的预解函数，希望这个函数是低于五次的方程的解，但未获得成功。然而，他的思想已蕴含着置换群概念，对后来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用，最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题。因而也可以说拉格朗日是群论的先驱。 　　在数论方面，拉格朗日也显示出非凡的才能。他对费马提出的许多问题作出了解答。如，一个正整数是不多于4个平方数的和的问题等等，他还证明了圆周率的无理性。这些研究成果丰富了数论的内容。

　　在《解析函数论》以及他早在1772年的一篇论文中，在为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试，他企图把微分运算归结为代数运算，从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量，并想由此出发建立全部分析学。但是由于他没有考虑到无穷级数的收敛性问题，他自以为摆脱了极限概念，其实只是回避了极限概念，并没有能达到他想使微积分代数化、严密化的目的。不过，他用幂级数表示函数的处理方法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。

　　拉格朗日也是分析力学的创立者。拉格朗日在其名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程，引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。

　　他还给出刚体在重力作用下，绕旋转对称轴上的定点转动(拉格朗日陀螺)的欧拉动力学方程的解，对三体问题的求解方法有重要贡献，解决了限制性三体运动的定型问题。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。

　　格朗日的研究工作中，约有一半同天体力学有关。他用自己在分析力学中的原理和公式，建立起各类天体的运动方程。在天体运动方程的解法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。此外，他还研究了彗星和小行星的摄动问题，提出了彗星起源假说等。

　　近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。

欧拉和拉格朗日(JosephLouisLagrange，1736—1813)是十八世纪的两位最伟大的数学家．关于他们二位中哪一位更伟大些的争论反映争论者的不同的数学感受．拉格朗日出生于意大利的都灵，这是个在法国和意大利颇有背景，以前很兴旺的家庭；他是十一个孩子中最小的一个，并且是过了童年唯一的幸存者．他在都灵受教育，并且，年轻时就在该地的军事学院任数学教授．1766年当欧拉离开柏林时，弗雷德里克大帝在写给拉格朗日的信中说：“欧洲最伟大的国王”希望有“欧洲最伟大的数学家”在他宫里．拉格朗日接受了这个邀请，担任欧拉辞去的职位达二十年．在离开柏林几年之后，不顾法兰西的动乱局势，拉格朗接受了新建立的高等师范学院教授职位．拉格朗日在发展与高等工艺学院有联系的高水平的教学上，做了许多工作．

　　拉格朗日对法国革命的恐怖行为的残暴表示反感．当大化学家拉瓦锡(Lavoisier)走上断头台时，拉格朗日对这愚蠢的判决表示愤慨，他说：“暴徒在刹那间就能砍掉他的头，但是一百年也不能再生出这样的一个人才来！”

　　晚年，拉格朗日忍受着孤独和沮丧的巨痛．在他五十六岁时，受到了一位比他小将近四十岁的少女的救援．她是他的朋友天文学家莱蒙尼尔(Lemonnier)的女儿．她对拉格朗日的不愉快深表同情，以致坚持要和他结婚．拉格朗日接受了她的爱，并且重新唤起了他生活的愿望．拉格朗日忠实而且单纯地宣称：关于他在世界上得到的全部荣誉，有他的温柔的、挚爱的年轻妻子的一份功劳．

　　拉格朗日的著作对后来的数学研究有很深的影响，因为他是认识到分析的基础处于完全不能令人满意的状态，从而试图使微积分严谨化的最早的第一流数学家．1797年，他在其巨著《微分原理中的解析函数论》(Theorie des fonctions analytiques contenantlesprincipes du calcul differentiel)中作了这种尝试，虽然是远不够成功的尝试．在这里，主要思想是以泰勒级数表达函数f(x)，其导数f′(x)，f″(x)，……被定义为在f(x+h)以h展开的泰勒展开式中h，h2/2！，……的系数．今天用得很普遍的记号f′(x)，f″(x)，……就起源于拉格朗日．但是，拉格朗日没有充分注意到收敛性和发散性的问题．尽管如此，我们在这里有了最初的“实变函数论”．拉格朗日的另外两本巨著是《论高次数字方程的解法》(Traite de la resolution des equations numeriques de tous degres，1767)和不朽的《分析力学》(Mecanique analytique，1788)．前者给出用连分数求方程实根的近似值的方法，后者(曾被称作“科学的诗”)包括今天称作拉格朗日方程(Lagrange’s equations)的、动力系统运动的一般方程．他在微分方程方面的工作(例如，参数变值法)，特别是在偏微分方程方面的工作，是很值得注意的，并且他对变分法的贡献大有助于该学科的发展．拉格朗日嗜好数论，在这个领域中，也写了几篇重要的论文，例如，每一个正整数可被表成不超过四个平方数的和，对这个定理他最先发表了自己的证明．他在方程论方面的早期工作，使伽罗瓦后来有可能得出他的群论．事实上，群论的重要定理：有限群G的子群的阶是G的阶的因子，被称作拉格朗日定理(Lagrange’stheorem)．在本书的前面几章中，拉格朗日已被提到过几次．

　　欧拉写得过于细并且随便凭借直观，而拉格朗日写得简明并且谋求严格．摆弄数学形式的人常体验到，他的笔在智慧方面凌驾于自己之上；这就是欧拉承认自己常丢不开的那种感觉．拉格朗日似乎有较高的数学良知，他在风格上是“现代的”，堪称第一个真正的分析家．所有伟大的音乐家可以分为：有成就的演奏家或作曲家，二者兼而有之的很少．类似地，所有伟大的数学家可被分为：形式运算专家或理论创造者，二者兼而有之的很少．欧拉主要是一位伟大的形式运算者，拉格朗日是一位伟大的理论家，高斯则在两方面都取得了卓越的成就．可以说欧拉像海菲茨，拉格朗日像贝多芬，而高斯则像巴哈(Johann Se- bastian Bach)．

　　拉格朗日说过，一个数学家对他自己的工作明白到这样的程度：能向街上遇到的第一个人说明它，并给他以深刻的印象时，才能说完全理解了它．虽然这个理想似乎是不可能的，时间又常表明它是可以达到的．牛顿的万有引力定律，最初受过高等教育的人都不理解，今天则成了常识．爱因斯坦的相对论，今天也经历着类似的变化．