1. 数的来历     2. 数学的摇篮       3. 农场主怎样渡河？       4. 油漆涂面          5. 取胜的对策       6. 机灵的小白鼠       7. 高明的蜂王        8. 邮票的最大面值       9.．智斗猪八戒         10.．数学之桥

1. 数的来历

原始社会，人类在狩猎、种植、捕鱼、采集等活动中，要与野果、鱼、木棒、石头等打交道，久而久之，人们便有了多少、数量的意识。这种对数的认识往往与实物联系在一起，如用“月亮”代表“1”，用“眼睛”、“耳朵”、“鸟的翅膀”代表“2”。这是由于只有一个月亮，人有两只眼睛两只耳朵、鸟有两只翅膀的缘故。原始人还认识到一个苹果和一头羊各是一个个体，三棵树和三把石斧都是三个个体的一堆等，这就是最初的数的概念。

最早用来计数的是手指、脚趾，或小石子、小木棍等。表示1，2，3，4个物体，就分别伸出1，2，3，4个手指，遇到5个物体便伸出一只手，10个物体伸出两只手。当数目很多时，就用小石子来计数，10颗小石子一堆就用大一些的一颗石子来代表。中国古代用的是木、竹或骨子制成的小棍，称为算筹。但是，大多数的原始人遇到大一些的数目，往往无法区分。

用手指、脚趾、石子、小木棍等来计数，难以长时间记录一个数字。因此，古人发明了打绳结来记数的方法，或者在兽皮、树木、石头上刻划记数。这些记号，慢慢就变成了最早的数字符号（数码）。

现在通用的数码是印度——阿拉伯数码，用十进位制来表示数。用1，2，…，9十个数码可表示任一数，低一位的数满10后就进到高一位上去。这种十进制，现在看来简单而平常，可它却是人类经过长期努力才演变成的。如在古埃及，数码记号是这样的：

1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000

一个数中若某位数超过1时，就要将它的符号重复写若干次。如345就要写成如下图，写更大的数则是一大串符号了，这样运算当然十分困难。古希腊人也需要27个字母互相组合，才能表示100以内的数目，非常不便。

队了十进制以外，还有五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十一进制、十二进制、二十进制、六十进制等。经过长期实际生活的应用，十进制终于占了上风。

数的概念和数码、进位制的出现和发展，都是人类长期实践活动的结果。

2. 数学的摇篮

巴比伦人和古埃及人积累了许多数学知识，但他们只能回答“怎么做”，却无法回答“为什么”要这么做的道理。古希腊人从阿拉伯人那里学到了这些经验，进行了精细的思考和严密的揄，才逐渐产生了现代意义上的数学科学。

第一个对数学诞生作出巨大贡献的是泰勒斯。他曾利用太阳影子计算了金字塔的高度，实际上就是利用了相似三角形的性质。他弄清了：直角彼此相等；等腰三角形的底角相等；圆被任一直径平分；如果两个三角形有一边及这边上的两个角对应相等，那么这两个三角形全等；而且证明了这些知识。这些知识现在看起来很简单，但在当时是非常了不起的。

在泰勒斯之后，以毕达哥拉斯为首的一批学者对数学作出了贡献。他们最出色的成就之一是发现了“勾肥肉定理”，在西方被称为“毕达哥拉斯定理”。正是用了这一定理，后来导致了无理数的发现，引起了第一次数学危机。

稍晚于毕达哥拉斯的芝诺，提出了四条著名的悖论，对以后数学概念的发展产生了重要的影响。

经过泰勒斯到芝诺等人的努力，古希腊的数学有了全新的发展。欧几里德吸取其中的精华，写成了《几何原本》这本在数学史上最有名的著作。今天人们所学的平面几何学知识，都来源于这本书。

继欧几里德之后，阿基米德开创了希腊数学发展的新时期，人们称之为亚历山大时期。阿基米德在数学方面的工作，远远超越了他那个时代，被后人称为“数学的社”。他设计过一种大数体系，即使整个宇宙都填满了细小的砂粒，也可以毫不费力把砂子粒数数出来。他通过作边数越来越多的内接正多边形、外切正多边形，算得了圆周率的值在3·10/71到3·1/7之间。他得到求面积和求体积的公式，还发明了以他名字命名的螺线。

在阿基米德之后，古希腊的数学更加侧重于应用。在天文学发展的促进下，希帕恰斯、梅尼劳斯、托勒密创立了三角学。尼可马修斯写出了第一本专门的数论典籍——《算术入门》，丢番图则系统地研究了各种方程，特别是各种不定方程。这样，初等数学的各个分支——算术、数论、代数、几何、三角全部建立了起来，这意味着，由巴比伦人、古埃及人孕育的数学“婴儿”，终于在古岙腊的摇篮中诞生了。

3. 农场主怎样渡河？

一位农场主要带着她女儿宠爱的一只兔子、一篮得奖的小萝卜和饥饿而又爱追兔子的小狗到镇上去。她来到一条河边并发现了一个问题。她发现系在河边的小船一次只能载她本人和一样物体过河。她不能让狗和小兔子留在一起（狗会吓坏可怜的兔子），她也不能让小兔单独和萝卜留在一起（兔子会把萝卡全都吃掉）。她不得不想出一个安全之策：她过河时只带一样物体，而留在岸边的不能是狗和兔子，也不能是兔子和萝卜。她怎样来回地渡河才能把三样物体安全地带到彼岸？

4. 油漆涂面

把一些单位立方体堆积成一个较大的立方体。然后，在这个较大的立方体的一些面上涂上油漆。在油漆干了之后，把较大的立方体分为单位立方体，并发现有24个单位立方体没有任何一个面上涂上油漆。这个较大的立方体有多少个面涂上油漆呢？

5. 取胜的对策

战国时期，齐威王与大将田忌赛马，齐威王和田忌各有三匹好马：上马，中马与下马。比赛分三次进行，每赛马以千金作赌。由于两者的马力相差无几，而齐威王的马分别比田忌的相应等级的马要好，所以一般人都以为田忌必输无疑。但是田忌采纳了门客孙膑（著名军事家）的意见，用下马对齐威王的上马，用上马对齐威王的中马，用中马对齐威王的下马，结果田忌以2比1胜齐威王而得千金。这是我国古代运用对策论思想解决问题的一个范例。

下面有一个两人做的游戏：轮流报数，报出的数不能超过8（也不能是0），把两面三刀个人报出的数连加起来，谁报数后使和为88，谁就获胜。如果让你先报数，你第一次应该报几才能一定获胜？

分析：因为每人每次至少报1，最多报8，所以当某人报数之后，另一人必能找到一个数，使此数与某所报的数之和为9。依照规则，谁报数后使和为88，谁就获胜，于是可推知，谁报数后和为79（=88－9），谁就获胜。88=9×9＋7，依次类推，谁报数后使和为16，谁就获胜。进一步，谁先报7，谁就获胜。于是得出先报者的取胜对策为：先报7，以后若对方报K（1≤K≤8），你就报（9－K）。这样，当你报第10个数的时候，就会取得胜利。

6. 机灵的小白鼠

大花猫是捕鼠能手，每天要抓到不少老鼠。但它在吃老鼠以前，先要叫老鼠列队报数。第一批吃掉报单数的；剩下的老鼠重新报数。第二批，花猫仍吃掉报单数的；第三批也是如此……最后剩下的一只老鼠可以被保留，与第二天抓来的老鼠一起重新排队报数。

后来，发生了一件极其有趣的事情。大花猫发现，一连好几天，最后被留下的总是一只机灵的小白鼠。

大花猫就问小白鼠：“你想了什么办法，能每天都留下呢？”

小白鼠说：“尊敬的大花猫先生，每天排队前我都先数一数你抓到了多少只老鼠，然后，我站在一个相应的位置，就可以留下来了。”

大花猫听了小白鼠的详细回答，很感叹地说：“没想到，害人的老鼠里居然也有你这样聪明的小白鼠呀！”

小白鼠行了一个礼，恭敬地说：“尊敬的大花猫先生，不瞒您说，我并不是害人的老鼠，我是从科学家的实验室里溜出来玩的，您放我回去，好吗？”

大花猫高兴地放它回去，临别的时候，大花猫还感谢小白鼠给它上了一节生动的数学课呢！

你知道吗，小白鼠每天应站在什么位置才能不被花猫吃掉。（为了方便，我们假设第一天共有十只老鼠排队，第二天是二十只，你来试着排排吧。）

7. 高明的蜂王

有一箱蜜蜂，每天辛勤地采蜜。但是如果它们归巢时蜂拥而来，就会拥挤碰伤。

聪明的蜂王想了一个办法：把蜜蜂分成三群，第一群50分时间归巢一次；第二群60分时间归巢一次；第三群70分时间归巢一次。这样就避免了全体一起归巢的情况发生。

你能说明这是为什么吗？

答案：

50＝2×52

60＝22×3×5

70＝2×5×7

最小公倍数＝22×3×52×7＝2100（分）＝35小时

如果早上九时，蜜蜂倾巢而出的话，要到35小时以后，即第二天晚上八时才会出现全体同时归巢的情况，而蜜蜂晚上不工作，因此不必担心拥挤了。

8. 邮票的最大面值

拉丁方是一种很有应用价值的数学课题。建国后，我国推广拉丁方与正交试验设计取得了可喜的成就。它与优选法一样，在各行各业中为高产、优质、低消耗作出了积极贡献。关于拉丁方的有意义的数学游戏似乎还介绍得不多，下面选录一则。

集邮公司有面值为1分、2分、3分、4分、5分的邮票，各种张数都很多。购买者可以任意选购，多少不拘。现在有一位顾客想买16张邮票，把它们放在一个四四一十六格的正方形框架里，每格只能放一张邮票。同行、同列与同一对角线上不允许出现两张面值相同的邮票，有些方格里干脆不放邮票倒是允许的。问他应该怎样买法，又应如何排列，才能使这个具有16格的四阶方阵中所有邮票总的票面价值为极大？

他应该购买5分邮票4张，4分邮票3张，3分的3张，2分的3张，1分的3张，排列方法如下图，就可满足要求。最大的票面价值正好是人民币5角。一般人在试图解这个问题时总是尽可能放进4张5分邮票和4张4分邮票，这样做，必将在方阵中留下两个空格，放不进任何邮票，于是票面总值最大只能达到4角8分。因此关键在于只能放进3张4分邮票。
　　　　　　　　　　　4 3 5 2
　　　　　　　　　　　5 2 1 4
　　　　　　　　　　　1 4 3 5
　　　　　　　　　　　3 5 2 1

9．智斗猪八戒

话说唐僧师徒西天取经归来，来到郭家村，受到村民的热烈欢迎，大家都把他们当作除魔降妖的大英雄，不仅与他们合影留念，还拉他们到家里作客。面对村民的盛情款待，师徒们觉得过意不去，一有机会就帮助他们收割庄稼，耕田耙地。开始几天猪八戒还挺卖力气，可过不了几天，好吃懒做的坏毛病又犯了。他觉得这样干活太辛苦了，师傅多舒服，只管坐着讲经念佛就什么都有了。其实师傅也没什么了不起的，要不是猴哥凭着他的火眼金睛和一身的本领，师傅恐怕连西天都去不了，更别说取经了。要是我也有这么一个徒弟，也能有一番作为，到那时，哈哈，我就可以享清福了。于是八戒就开始张落起这件事来，没几天就召收了9个徒弟，他给他们取名：小一戒、小二戒…小九戒。按理说，现在八戒应该潜心修炼，专心教导徒弟了。可是他仍然恶习不改，经常带着徒弟出去蹭吃蹭喝，吃得老百姓叫苦不迭。老百姓想着他们曾经为大家做的好事，谁也不好意思到悟空那里告状。就这样，八戒们更是有恃无恐，大开吃戒，一顿要吃掉五、六百个馒头，老百姓被他们吃得快揭不开锅了。

邻村有个叫灵芝的姑娘，她聪明伶俐，为人善良，经常用自己的智慧巧斗恶人。她听了这件事后，决定惩治一下八戒们。她来到郭家村，开了一个饭铺，八戒们闻讯赶来，灵芝姑娘假装惊喜地说：“悟能师傅，你能到我的饭铺，真是太荣幸了。以后你们就到我这儿来吃饭，不要到别的地方去了。”她停了一下说：“这儿有张圆桌，专门为你们准备的，你们十位每次都按不同的次序入座，等你们把所有的次序都坐完了，我就免费提供你们饭菜。但在此之前，你们每吃一顿饭，都必须为村里的一户村民做一件好事，你们看怎么样？”八戒们一听这诱人的建议，兴奋得不得了，连声说好。于是他们每次都按约定的条件来吃饭，并记下入座次序。这样过了几年，新的次序仍然层出不穷，八戒百思不得其解，只好去向悟空请教。悟空听了不禁哈哈大笑起来，说：“你这呆子，这么简单的帐都算不过来，还想去沾便宜，你们是永远也吃不到这顿免费饭菜的。”“难道我们吃二、三十年，还吃不到吗？”悟空说：“那我就给你算算这笔帐吧。我们先从简单的数算起。假设是三个人吃饭，我们先给他们编上1、2、3的序号，排列的次序就有6种，即123，132，213，231，312，321。如果是四个人吃饭，第一个人坐着不动，其他三个人的座位就要变换六次，当四个人都轮流作为第一个人坐着不动时，总的排列次序就是6×4＝24种。按就样的方法，可以推算出：五个人去吃饭，排列的次序就有24×5＝120种,……10个人去吃饭就会有3628800种不同的排列次序。因为每天要吃3顿饭，用3628800÷3就可以算出要吃的天数：1209600天，也就是将近3320年。你们想想，你们能吃到这顿免费饭菜吗？”

经悟空这么一算，八戒顿时明白了灵芝姑娘的用意，不禁羞愧万分。从此以后，八戒经常带着徙弟们帮村民们干活。他们又重新赢得了人们的喜欢

10．数学之桥

阿拉伯人对古代数学的贡献，是现在人们最熟悉的1、2、…9、0十个数字，称为阿拉伯数字。但是，在数学发展过程中，阿拉伯人主要是吸收、保存了希腊和印度的无理数运算，但放弃了负数的运算。代数这门学科的名称就是由阿拉伯人发明的。阿拉伯人还解出一些一次、二次议程，甚至三次议程，并且用几何图形来解释它们于方程x2+10x=39，他们的几何解法如下：作一个正方形，假定它的边长为未知数x，然后在它四边上，向外作x=5/2的矩形。将整个图形扩充成边长为x+5的正方形，从下图中可见，整个大正方形面积，等于边长为x的正方形面积与边为5/2的四个正方形面积及边长各为x、5/2的四个矩形面积之和。所以大正方形面积是x2+4*5/2*x+4*5/2*5/2，即x2+10x+25。因x2+10x=39，所以大正方形面积等于39+25即64。因此，大正方形边长等于8，而x就是8-2*5/2=3。阿拉伯人还用圆锥曲线相交来解三次方程，这是一大进步。

阿拉伯人还获得较精确的圆周率，得到了2π=6.283185307195865，π已计算到17位。此外，他们在三角形上引进了正切和余切，给出了平面三角形的正弦定律和证明。平面三角和球面三角的比较完整无缺理论也是他们提出的。